Les fractales

Pourquoi une page sur les fractales ? Parce que j'aime ça et parce que c'est joli !

..« objet fractal » et « fractale », termes que je viens de former, pour les besoins de ce livre, à partir de l'adjectif latin fractus, qui signifie « irrégulier ou brisé ». Fractale. n.f. Configuration fractale. Ensemble ou objet fractal. Remarque. Puisque mon adjectif pluriel fractals avait prêté à controverse, il paraît bon que le nom correspondant soit féminin. J'y tiens, bien que de nombreux collègues choisissent spontanément le masculin. La raison en serait qu'ils ne considèrent pas fractal comme étant un mot français qui serait passé à l'anglais. B. Mandelbrot : Les objets fractals (Flammarion)

The Elastic Fractal

les Fractales Par Romain Chéron, Céline Jacoutot, Guillaume Joly et Bastien Pesenti :
http://gjoly.free.fr/fractales-projet/index.html
Mandelbrot : http://gjoly.free.fr/fractales-projet/Mandel/mandel.html
Récursivité : http://gjoly.free.fr/fractales-projet/Recursif/recursivite.html

Le site de J.P. Louvet : http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/jpl/jpl01.html
Fractales sur le Web : http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/jpl/jpl4.html

URL d'origine : http://perso.club-internet.fr/martinos/fractale/frac.htm

Le terme de fractale a été introduit par Benoit Mandelbrot au cours des années 70, dans un ouvrage célèbre, plusieurs fois édité et modifié qui s'appelle "Les Objets Fractals". Benoit Mandelbrot est un mathématicien, né à Varsovie en 1924, ayant vécu en France de nombreuses années, et qui travaille actuellement pour IBM et l'université de Yale aux Etats-Unis. Mandelbrot est le "pilier" de la théorie des fractales qu'il a initié en s'appuyant à la fois sur une somme d'indices hétéroclites relevés dans les travaux de divers mathématiciens et par un regard curieux et sans cesse investigateur du monde qui nous entoure. Autour de Mandelbrot, on trouve nombre de scientifiques qui se sont emparés de cette découverte révolutionnaire et qui l'ont amplifiée, l'emportant dans tous les recoins de la science, dont la médecine. On se doit de citer Julia et Fatou, Scholz, Bamsley, Feigenbaum, trorke, Lorenz, Hénon, Douady... Aujourd'hui, il ne se passe pas de semaine sans qu'il paraisse des articles scientifiques impliquant la très jeune théorie des fractales. La médecine est aussi concernée par cette nouvelle conception du monde qui bouleverse tous les domaines auxquels on l'applique. Mais qu'est-ce donc que la théorie des fractales ? .

Pythagore, Euclide ne suffisent plus

Le cheminement de pensée de Mandelbrot qui l'a amené à introduire la notion de fractale a pour origine la constatation suivante : les lois des mathématiques et de la géométrie classiques, héritages des penseurs de l'antiquité, ne permettent pas de construire des modèles satisfaisants des objets naturels complexes. En effet, ces outils formels n'autorisent à traiter que des cas épurés, bien loin de la complexité du monde réel. Ainsi, les problèmes de physique sont en général envisagés en ne faisant intervenir que quelques éléments de base et en écartant toute composante perturbatrice, à l'image des célèbres exercices de dynamique qui font tant souffrir les élèves de classe de terminale. Rappelez-vous : il faut bien prendre soin de ne pas tenir compte des aspérités du sol, de l'effet du vent, et de tous les frottements en général. Ces modèles, fortement idéalisés, ont toutefois permis d'arriver à une abstraction généralisatrice très puissante qui a conduit à la définition des lois fondamentales de la physique que nous connaissons.

Concrètement, et par exemple : pour étudier la gravité on se projette dans un monde abstrait où l'on considère qu'un objet a une masse concentrée en un point de surface nulle et qu'il subit un champ d'accélération produit par son interaction avec un autre point de l'espace, le tout dans le vide. Ouf !

Dans la réalité, la chute des corps ne se fait pas de cette manière ! Si je m'occupe de savoir comment une tuile tombe de mon toit, j'ai affaire à un objet qui a un volume, qui subit une accélération influencée par l'environnement, comme le vent et le frottement de l'air... et qui ne tombera pas forcément juste à la verticale !

Le vrai du faux

Toutefois, il s'avère que les lois de la physique qui sont déduites du modèle idéal se vérifient avec une précision suffisante dans la plupart des cas, ce qui laisse penser que la chute des corps est effectivement régie par cette loi universelle. Les petites différences que l'on peut observer parfois entre ce qui est prédit par le calcul et ce qui se passe réellement sont généralement mises sur le compte d'un manque de précision des paramètres initiaux (par ex. : la mesure de la masse de l'objet doit être plus fine) ou sur l'imprécision du modèle qui ne prend pas en compte suffisamment de phénomènes perturbateurs (par ex. : il faut introduire un facteur de frottement qui va compliquer l'équation). Donc, tout est faux, mais cela donne un résultat assez vrai pour le besoin qu'on en a.

Toute les théories de la physique classique que nous connaissons ont été élaborées de cette manière depuis l'antiquité. Et elles donnent toute satisfaction.

La nature c'est simplement très compliqué

Sauf que, dans certains cas, il arrive qu'aucun modèle satisfaisant ne soit trouvé de cette manière, notamment lorsqu'on veut reproduire des formes naturelles. Déjà, Léonard de Vinci s'était intéressé au problème de l'écoulement des fluides en observant et en dessinant le cours de l'eau des ruisseaux. II était intrigué par les formes si particulières et pourtant reproductibles des tourbillons. L'inventeur de génie qu'il était aurait bien aimé comprendre la nature des rouages à l'origine de ces formes enroulées et mouvantes. Si l'eau du ruisseau se déplace de haut en bas, c'est bien à cause de la gravité dont on connaît la loi universelle depuis que Sir Isaac Newton l'a révélée à l'humanité. Mais, même en augmentant la précision des mesures, et en introduisant des facteurs de viscosité, de cisaillement et autres frottements, on n'obtient pas de modèle suffisamment ressemblant à ce que la nature nous laisse observer.

Cela veut-il dire que l'eau des torrents n'est pas concernée par la gravité ? Sûrement pas. Alors la conclusion que l'on donne généralement, c'est qu'il faudrait un modèle plus compliqué qui associe autour de la loi de gravité de nombreux facteurs perturbants évalués avec suffisamment de précision. Et d'ajouter que la résolution de ce modèle serait alors au delà de nos possibilités en termes de puissance de calcul ou de savoir faire mathématique, ce qui explique que personne n'a pu le produire. Une autre manière de s'en sortir, c'est d'affirmer que le "hasard" est à l'origine du décalage qui existe entre le parcours tourmenté de l'eau du ruisseau et la trajectoire rectiligne et régulière que produit l'équation de la gravité. Aucune de ces deux hypothèse n'est vraiment satisfaisante.

Tout le monde sait ce qu'est une montagne

Vous avez bien sûr déjà fait cette expérience avec un jeune enfant : vous lui expliquez une seule fois ce qu'est un arbre ou une montagne, et, à part une ou deux confirmations qu'il vous demandera immédiatement pour appliquer ces mots à quelques nouveaux exemples, il ne sera plus jamais nécessaire de les lui définir. Quelques soient les espèces de végétaux ou les types de relief qu'il observera ensuite, il identifiera toujours correctement les arbres et les montagnes.

Ce miracle bien banal est du, bien évidemment, à l'extraordinaire capacité d'abstraction qu'ont les humains et qui leur permet l'apprentissage par analogie. Mais l'observation de ce fait met en évidence également un phénomène très intéressant : les arbres ressemblent aux autres arbres, et les montagnes ressemblent aux autres montagnes ! Cela parait une évidence, mais pour un mathématicien ou un physicien c'est un peu déconcertant...

En effet, si on essaye de décdre de manière formelle avec les outils de la géométrie classique la forme d'un arbre, on est vite contronté à des difficultés de conception. Les équations permettent de décdre de manüsre satisfaisante des objets simples comme la sphère pure ou le cube parfait, mais semblent inadaptées pour modéliser correctement les objets complexes de notre environnement. On ne sait tout simplement pas reproduire de cette manière ce que nous observons chaque jour autour de nous comme l'eau d'un ruisseau, la ramification des arbres, la structure des montagnes... En tout cas pas avec un réalisme suffisant : une montagne ne ressemble pas à un cône !

On peut perturber l'équation du cône avec divers paramètres, on obtient un cône déformé, mais toujours pas une image de montagne. Même en mettant quelques c8nes les uns à coté des autres, on n'obtient rien de très convaincant. En un mot, les montagnes de la géométrie classique ne ressemblent pas aux véritables montagnes ! Et pour chaque montagne, il faudra de nouvelles équations, sinon, on reproduira toujours la même forme.

Augmenter la précision de la description mathématique en augmentant la complexité de l'équation choisie ou ajouter une forme de variabilité en introduisant un facteur de perturbation statistique aux formules ne suffit pas. II devient vite évident que le nombre d'expressions mathématiques et de paramètres nécessaires pour atteindre un réalisme suffisant du modèle devient plus important que l'ordre de complexité de l'objet réel lui-même !

On peut probablement trouver une solution

Que faire ? Certains ont apporté une solution temporaire et bien pratique : considérons qu'un facteur "hasard" existe, on peut alors développer une approche statistique du problème. Cette approche permet de prédire le comportement d'un système en fonction de l'expérience que l'on en a : si J'observe des dizaines de montagnes avec un regard de statisticien, je pourrai déduire certaines propriétés universelles avec une certaine probabilité. Une montagne n'a en général qu'un seul sommet culminant (mais il y a quelques exceptions), un rapport [largeur de la base]/[hauteur] habituellement autour de 10, etc... De cette manière on peut aborder des problèmes s'appliquant à des objets complexes, de façon imprécise, mais tout de même utile. La connaissance médicale s'est constituée de cette manière suite à un long apprentissage et reconnaissance des symptômes qui sont le plus probablement associés à une maladie particulière. Car il n'est pas question de modéliser l'ensemble des processus biologiques sous la forme d'une seule "grosse équation".

Mais quelques personnes, un peu farfelues et considérées comme marginales par les mathématiciens et physiciens bon teint, se sont attaquées au sujet dans sa forme non statistique. Ils ont pris le problème à l'autre bout : s'occuper en priorité de la forme globale des objets observés dans la nature plut8t qu'à l'éventuelle équation cachée qui pourrait être à l'origine de cette forme. Et essayer de voir quelles propriétés générales avaient ces objets.

Les pionners

L'histoire de la science est peuplée de curieux personnages qui, bizarrement, au lieu de s'occuper de ce qu'ils sont censés étudier, s'intéressent passionnément à des choses que les autres négligent. Contrairement aux apparences, c'est souvent au sein de cette communauté diffuse que l'on trouve la plus forte proportion de génies. Mandelbrot fait incontestablement partie de cette race de personnages. Mais avant lui, certains confrères avaient un peu étudié des objets géométriques particuliers qui l'inspireront dans ses premiers travaux. Un certain Sierpinski avait publié un étrange graphique où se trouvaient représentés des triangles imbriqués les uns dans les autres et alternativement retournés. Von Koch, lui, avait dessiné une image en forme de flocon ou de rempart à la Vauban, aux bords subdivisés à l'infini. Cantor, autre mathématicien, avait représenté dans un ouvrage une sorte de peigne formé de traits verticaux se dédoublant à chaque étage du graphique tout en devenant plus fin. A l'infini, on obtenait une figure évoquant une sorte de "poussière" de points. . Peano, lui, avait défini une courbe en forme d'étoile à branches perpendiculaires et infiniment ramifiées, parfois représentée aussi à l'aide de sphères. Ces figures faisaient partie du bestiaire inclassable des bizarreries mathématiques, bien connues mais considérées comme triviales. Le génie de Mandelbrot c'est de les avoir envisagées ensemble et d'avoir eu l'intuition d'en déduire des caractéristiques communes encore non décrites.

Ce que Mandelbrot a remarqué tout d'abord, c'est que le point commun des ces formes géométriques est la subdivision et la répétition de motifs à des échelles de plus en plus petites. Et son intuition était que pour former l'ensemble, il fallait non pas un processus global et très complexe, mais une multitude de processus simples qui fonctionnent en parallèle et de façon répétée. Par exemple, une transformation élémentaire d'une ligne en quatre segments articulés par trois angles pouvait générer le flocon de Von Koch entier si on l'appliquait de façon répétée et à toutes les échelles. On avait ainsi montré par cette formulation que des objets de forme très complexe pouvaient être générés en répétant à l'infini des processus élémentaires dont l'action conjuguée engendre une profusion d'arabesques. Ces objets ont été nommés "formes fractales" ou simplement "fractales" par Mandelbrot, en référence à l'adjectif latin fractus (provenant du verbe frangere) qui signifie "irrégulier" ou "brisé".

Le triangle de Sierpinski, la poussière de Cantor, l'étoile de Peano, le flocon de Von Koch sont des objets symétriques et réguliers encore bien loin de la forme des objets réels. Pourtant, on peut déjà rapprocher ces constructions mathématiques avec des objets naturels très communs, comme certains légumes...

Aimez-vous le chou fleur ?

II vous arrive sans doute de faire un peu de cuisine. Vous avez donc sûrement déjà été amené à préparer un légume qui nous intéresse tout particulièrement : l'asparagus major ou chou-fleur.

Le chou-fleur a une forme remarquable. Grossièrement, il se présente comme une section de sphère entourée de feuilles. Si on regarde de près la surface du chou-fleur, on remarque que celle-ci est constituée de cônes qui se juxtaposent de manière enroulée en spirale, formant ainsi des volutes qui constituent elles-mêmes des cônes similaires aux premiers, mais d'échelle plus grande. Si on ouvre le chou-fleur en le cassant, on observe une structure en branches principales qui se séparent en branches plus petites. La première division se produit sur la branche principale d'origine, et peut donner de 3 à 8 branches secondaires. Cette division se reproduit de la même manière à chaque étage avec une régularité étonnante. A vue d'œil on peut distinguer entre 5 et 8 étages de divisions entre la branche d'origine et la surface du chou-fleur. A chaque étage les subdivisions sont proportionnellement similaires.

On trouve donc dans la nature des objets qui présentent les caractéristiques du flocon de Von Koch : répéfltion à toutes les échelles d'un motif similaire. Par exemple, on retrouve ces aspects fractals dans beaucoup de cristaux, comme la rose des sables. Sur ce principe de subdivision et répétition on peut générer une multitude de formes qui ressemblent à des objets naturels. Ces procédés sont couramment utilisés pour créer des décors en images de synthèse comme des paysages imaginaires frappants de réalisme, ou des textures qui imitent les tissus et la pierre. Le principe commun de ces techniques est la subdivision progressive d'un maillage régulier auquel on applique une déformation localement aléatoire..

Michael Bamsley, autre mathématicien qui s'est intéressé de près aux objets de la nature, a montré qu'on peut en fait générer toute forme, aussi complexe soit-elle, en utilisant un ensemble de fonctions simples itérées un grand nombre de fois. II a obtenu de cette manière des images de fougères très réalistes. Selon ce principe, on peut simuler la croissance de nombreux végétaux ce qui donne des images difficiles à distinguer de véritables photographies. Toutes ces techniques sont mises en œuvre aujourd'hui dans les studios de Hollywood pour produire les effets. spéciaux des films à grand spectacle. On y invente dans la mémoire des ordinateurs des paysages à la fois réalistes et fantastiques constitués de montagnes, ciels nuageux, lacs et forêts du plus bel effet.

L'arpenteur de l'infini

Les objets fractals (on ne dit pas "fractaux", dixit Mandelbrot) ainsi définis ont des caractéristiques spécifiques assez étonnantes qui vont à l'encontre du sens commun.

Prenons un exemple : à votre avis, quelle est la longueur de la côte de Bretagne, disons entre Nantes et Le Havre ? Les dictionnaires et les atlas géographiques avancent des valeurs très différentes. Serait-ce parce que personne n'a vraiment mesuré cette distance ?

Quand Mandelbrot s'est penché sur ce problème, il a trouvé un résultat plus étonnant encore : à son sens, cette longueur est infinie. En effet, on peut au départ se contenter d'une mesure grossière, avec une barre d'un mètre que l'on reporte bout à bout comme le fait un arpenteur. Mais si on utilise une barre de 10 cm, on va pouvoir coller plus près du bord de la côte et pénétrer dans des recoins du contour inaccessibles avec la barre de 1 mètre. La longueur qu'on va mesurer sera donc encore plus grande puisqu'on va ainsi devoir appliquer l'étalon à un contour plus replié. De même, si on utilise un segment de 1 micron, on pourra contourner le bord de chaque grain de sable qui est à la limite des terres émergées. Si on imagine utiliser un segment infiniment petit, la longueur de cette côte devient infiniment longue !

Poursuivant le paradoxe à son comble, Mandelbrot imagine, pour pouvoir décrire cette longueur infinie, la notion de dimension fractale. Depuis le collège, nous sommes habitués à considérer des espaces à dimension entière : 1 pour la ligne, 2 pour le plan, 3 pour l'espace... Mais rien n'empêche d'envisager des dimensions non entières, comme toutes celles comprises entre 1 et 2, par exemple 1,5. Pour Mandelbrot, le contour de la c8te de Bretagne a une dimension probablement située entre 1 et 1,5. Plus ce contour est replié, plus il "occupe de la place sur lé plan", et donc plus il tend à remplir la deuxième dimension. Avec les objets mathématiques bien définis, on peut calculer précisément cette dimension fractale. Elle est à peu près de 1,2618 pour le flocon de Von Koch.

Un papillon responsable du chaos

S'il est un domaine complexe, c'est bien l'économie. II existe bien des théories rationnelles qui décrivent les processus fondamentaux de l'économie, mais il faut bien avouer qu'elles sont loin de pouvoir expliquer dans le détail toutes les subtilités des mouvements de l'argent. Dans les années 60, Mandelbrot (encore lui !) s'est intéressé aux 8uctuations boursières.

Ces fluctuations sont souvent représentées dans les bandes dessinées en arrière plan du bureau d'un directeur général. Elles sont toujours de forme hachée, en ligne brisée. Car en fait, c'est bien ce qui se passe : les fluctuations boursières semblent avoir un comportement totalement imprévisible, erratique, capricieux. C'est un fait que chacun peut observer chaque jour dans le Financial Times. Ce comportement irrationnel est tellement présent dans l'inconscient collectif qu'il est devenu un standard des bandes dessinées !

Pourtant, on ne peut pas considérer que l'économie est sous l'influence totale du hasard... II y a donc là un mystère que beaucoup de mathématiciens, statisticiens et hommes d'affaires ont tenté d'éclaircir. C'est que dans ce domaine, savoir prévoir est un avantage concurrentiel qui peut vous rendre rapidement très riche. En général, l'attitude adoptée pour essayer d'analyser ces courbes c'est de faire le postulat qu'il existe des cycles périodiques (à moyen et à long terme) perturbés par une sorte de bruit de fond qui donne au tracé un profil haché. Cela ne marche pas très bien.

Ce que Mandelbrot a imaginé, c'est que ce tracé pourrait être fractal. Et que sa forme complexe est peut être due à des mécanismes très simples mais répétés un très grand nombre de fois et superposés. En cela, il se rapproche d'une autre théorie innovante qui a émergé parallèlement à celle des fractales : la théorie du chaos. Les chaoticiens (c'est comme cela qu'on appelle ceux qui s'occupent de réfléchir à cette théorie), dont Edward Lorenz est le chef de file, ont fait le constat suivant : une toute petite équation, très simple et bien banale, quand elle est répétée un très grand nombre de fois, peut générer une suite de nombres complètement désordonnée, imprévisible et sans aucun cycle. En quelque sorte, on dispose alors d'un véritable générateur de hasard. Qui plus est, on observe facilement qu'une toute petite différence dans les conditions de départ provoque des changements radicaux dans les conséquences. Ce qui a fait dire à Lorenz, météorologiste de formation, qu'un simple battement d'aile de papillon à Pékin peut se transformer en tempête à New-York le mois suivant !

Chaos et fractales sont des concepts intriqués. Ainsi, certains pensent aujourd'hui que la totalité des formes de la nature, y compris celles qui paraissent les plus compliquées, les moins symétriques, les plus détaillées, ont pour origine de simples processus chaotiques qui génèrent des formes à propriétés fractales plus ou moins évidentes (pour les mathématiciens, les notions de fractales et de chaos sont toutes deux basées sur des relations de type non linéaires).

La répétition à du bon

Le point commun de toutes ces nouvelles idées, c'est la répétition. Les fractales et le chaos naissent de la répétition.

Une preuve troublante de ce fait est apportée par la biologie, et plus particulièrement la génétique. Toute l'information nécessaire pour permettre le développement d'un être vivant est contenue dans son ADN, c'est, une connaissance aujourd'hui bien établie. L'analyse de l'ADN et sa cartographie nous montrent que, certes la molécule en double hélice permet de mémoriser un grand nombre d'informations, mais qu'elle n'a pas une capacité infinie. En tous cas elle ne semble pas avoir une taille suffisante pour enregistrer les données qui seraient nécessaires pour décrire complètement un être vivant avec un ensemble de primitives géométriques. D'autant qu'une bonne partie de cet ADN ne semble pas être utilisé et sert de remplissage. Pourtant tout est là, au cœur de la cellule initiale !

Nous savons donc que l'ADN ne contient pas, comme on pouvait l'imaginer il y a quelques dizaines d'années encore, un plan exhaustif et de grande précision qui pré-programmerait la forme finale qu'elle est destinée à générer. II faut plutôt imaginer que l'ADN représente une forme plus condensée de l'information. Forme qui reste d'ailleurs à découvrir et suscite une grande activité de recherche actuellement.

Recette du bonhomme de pain d'épice selon Mandelbrot

La "nature" produit donc des objets complexes (et beaux) dont la forme (et certainement la mécanique ou le fonctionnement) ne dépend ni du hasard le plus total, ni d'une programmation rigoureusement déterministe, même panachée d'un zeste de perturbation statistique.

Fractales, chaos... L'essentiel de tout cela , c'est la découverte que des systèmes simples mais très sensibles aux conditions initiales, répétés un grand nombre de fois, peuvent générer des objets complexes, étrangement similaires à ceux que l'on peut observer dans la nature. On a peut être découvert ici quelques unes des briques de base du jeu de construction de l'univers.

Et maintenant, plutôt que chercher à reproduire un objet qui existe déjà, peut-on jouer au Maître de l'univers et créer quelque chose de nouveau et complexe avec des fractales ?

Mandelbrot l'a fait : c'est l'ensemble de Mandelbrot, appelé aussi le "bonhomme pain d'épice" parce qu'il a vaguement la forme du gâteau traditionnel américain que l'on fabrique pour Noël. Cet ensemble est considéré, c'est le mathématicien J.H. Hubbard qui l'a dit le premier, comme l'objet mathématique le plus complexe que l'homme ait jamais inventé (on lui donne aussi de plus en plus le nom d'ensemble "M", pour simplifier l'écriture des articles scientifiques). C'est une image calculée en répétant une équation simple, du type f(u) = u² + c, u étant un nombre de l'espace complexe (u = x.i + y, avec i² = -1, x et y des nombres réels) et c une constante.

Si les valeurs obtenues s'éloignent progressivement et indéfiniment, et dépassent un certain cadre que l'on s'impose, on considère alors que le couple (x,y) de départ ne fait pas partie de l'ensemble de Mandelbrot, et on marque en (x,y) un point noir. Si au contraire les valeurs intermédiaires persistent à rester dans le cadre imposé, on considère que le couple (x,y) fait partie de l'ensemble, et on représente aux coordonnées x,y de l'image un point blanc. En balayant tout un intervalle de valeurs pour x et pour y, on construit progressivement une image qui dessine le bonhomme en pain d'épice.

Selon la précision des calculs que l'on choisit, on obtiendra une image plus ou moins détaillée. On peut compléter la méthode par une attribution de couleurs selon le nombre d'itérations nécessaires pour sortir du cadre imposé, et on obtient ainsi une image plus attrayante.

Générer des fractales nécessite d'effectuer un très grand nombre de calculs. Seuls les ordinateurs d'aujourd'hui permettent d'obtenir des représentations précises de l'ensemble de Mandelbrot. Ce qui explique que l'apparition des premières images de ce type ne remonte qu'à quelques années. En changeant la "boîte à calculs", on obtient des figures de formes variées. La caractéristique particulière de cette figure étrange, c'est sa beauté fascinante, son infinité de détails et d'arabesques qui apparaissent quand on en réalise des agrandissement.

C'est une véritable mine à images dont on peut tirer d'innombrables vues colorées à souhait. Certaines zones agrandies ont reçu un nom particulier comme la célèbre "vallée des hippocampes". De temps à autres dans les méandres du contour, on distingue une forme qui ressemble au "bonhomme de pain d'épice" tout entier, mais miniature. Cette résurgence à différentes échelles d'un motif commun est caractéristique des fractales : on l'appelle la propriété d'autosimilarité. L'ensemble de Mandelbrot est une frontière.

C'est la limite avec le noir de l'image qui constitue la partie intéressante du motif, comme pour la côte de Bretagne, toute considération touristique mise à part !

Autre point de vue remarquable

Mandelbrot est célèbre pour sa théorie, et peut être plus encore pour son "bonhomme en pain d'épice". Mais, les fractales abstraites (qui ne cherchent pas à représenter des objets naturels, mais qui sont des figures purement mathématiques) sont nombreuses et reposent parfois sur des principes de boîte à calculs très différents. Ainsi, on peut tracer les fractales de Julia et des fractales dites Newtoniennes, parmi beaucoup d'autres (dont, ne l'oublions pas, celles de Von Koch, Sierpinski et autres confrères déjà décrites plus haut). On peut aussi calculer des fractales en trois dimensions, comme "l'éponge de Sierpinski Mendel", sorte de fromage à trous cubiques. Ce sont toutes de véritables génératrices à motifs qui se déploient en une profusion de découpages encastrés dont la complexité augmente à mesure qu'on agrandit les détails.

Les fractales sont infiniment complexes, il y a une infinité de modèles de fractales, il y a des fractales partout autour de nous. Comment se fait-il que nous ne l'ayons pas compris plus tôt ? On aurait sûrement du demander bien avant aux enfants pourquoi les montagnes sont des montagnes.

La frontière du vivant

Pour les scientifiques qui s'intéressent à ces nouvelles théories, le monde qui nous entoure est essentiellement une vaste association de fractales, de frontières imbriquées les unes dans les autres, une succession d'enveloppes aux contours complexes. Pour eux, la vie est une sorte de point d'équilibre sur une ligne de crête entre deux gouffres. Ce fil du rasoir est étroit mais très riche et assez robuste, car la frontière est un puissant attracteur vers un univers stable.

Un médecin ne peut qu'être d'accord : ilparaît bien difficile de survivre à plus de 50°C de température centrale, ou avec une pression artérielle de plus de 500mm de mercure. Le pharmacologue est aussi concerné par les fractales : les molécules destinées à guérir sont souvent des agents dont l'activité au niveau atomique est simple, mais dont les effets peuvent être considérables. On peut considérer que la molécule et son substrat forment une sorte de micro-moteur à très petite échelle, et que la sommation des effets de ces millions de moteurs est à l'origine de l'efficacité thérapeutique, même dans le cadre de pathologies aux aspects cliniques complexes. C'est particulièrement vrai pour les composés qui interviennent au niveau intime des métabolismes, comme les systèmes enzymatiques.

L'homme en pleine santé est un superbe bouquet de fractales et d'attracteurs qui maintiennent l'équilibre de la vie.

Vers une médecine fractale

Les nouvelles théories ont au moins un avantage : elles provoquent les échanges d'idées et stimulent l'innovation en procurant une nouvelle vision du monde. La science des fractales a toutes les caractéristiques d'un catalyseur d'idées.

Appliquée à la médecine elle constitue un nouveau paradigme pour aborder selon une approche fondamentale, entre autres, l'étude des maladies de système, de la neurobiologie, des pathologies de " terrain ", de la psychiatrie, de l'électrophysiologie, de l'embryologie, de l'anesthésiologie, de l'imagerie médicale. Dans une certaine mesure, c'est aussi un nouvel outil pour l'épidémiologie, la génétique médicale, l'ingénierie biomédicale et la médecine préventive. Chaque chapitre de la science médicale sera bientôt concerné par les fractales, à un niveau ou un autre (on serait tenté de dire à toutes les échelles !). II est facile de juger de l'importance de l'engagement de la communauté scientifique sur ce sujet en dénombrant le nombre toujours croissant de publications qui sont éditées sur les fractales.

Les résultats de ces recherches porteront sans nul doute autant sur la connaissance de la physiologie et de la physiopathologie, que sur la méthodologie diagnostique et thérapeutique.

Déjà la biologie n'est pas épargnée par la vision fractale des nouveaux mathématiciens : on a ainsi pu voir dans la presse scientifique des tentatives de modélisation de la ramification des bronches dans les poumons, ou de l'arbre vasculaire assez convaincantes. Beaucoup de mécanismes de croissance ou de diffusion (cristaux de glace, percolation d'oxydes de fer dans des roches, micro-organismes marins) sont bien imités par ces techniques.

De même ce mode de pensée pourrait peut être expliquer que certaines pathologies d'expression complexe ont pour origine une cause unique et simple mais reproduite de nombreuses fois. Ainsi, on pourrait expliquer les troubles du rythme cardiaque bizarres ou les accidents imprévus du tracé électrocardiographique que l'on observe parfois chez certains patients. Cela pourrait aussi expliquer certains aspects d'embryogenèse pathologique, voire fournirait une explication à l'apparition d'un processus cancéreux dans une cellule.

La science des fractales se concrétise lentement. Le stade de la bizarrerie mathématique est maintenant dépassé, et les développements théoriques pour passer de la reconnaissance d'un phénomène curieux à la compréhension de ses mécanismes intimes sont en cours. Les choses vont vite, et il est probable que les fractales franchiront bientôt les portes de nos maisons ! !

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THE SPANKY FRACTAL DATABASE : http://spanky.triumf.ca ou : http://spanky.fractint.org

Un site complet de logiciels de fractals à télécharger pour Macintosh et pour PC :
http://archives.math.utk.edu/software/mac/fractals/.directory.html
http://archives.math.utk.edu/software/msdos/fractals/.html

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